INTRODUCCION
Hasta ahora
“únicamente” hemos aprendido a
calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que
éstas pueden tener. Sin embargo,
la integral definida es un método rápido
para calcular áreas, volúmenes,
longitudes, etc., lejos de los procesos lentos
y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral.
¿SABIAS QUE?
Aunque no se trata de una
herramienta de uso cotidiano del ingeniero, el cálculo integral tiene
aplicaciones en el desarrollo de algunos modelos estocásticos para los cuales
es indispensable la formulación de integrales. La aplicación de estos
modelos va dese la distribución de plantas, hasta la planificación de compras y producción.
Ejemplo 1: La integral sirve para sacar áreas bajo curvas. El odómetro del carro integra la velocidad
del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).
Ejemplo 2: En el campo de las construcciones, los arquitectos,
ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para
obtener el área de superficies irregulares.
Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan
con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de
un producto, pueden obtener la fórmula de costo total a través de
integrales.
MARCO TEORICO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Un movimiento es rectilíneo cuando
el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando
su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es
nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.
El
MRU (movimiento rectilíneo uniforme) se caracteriza por:
§
Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
§
Velocidad constante; implica magnitud y dirección
constantes.
§
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de
celeridad o rapidez.
§
Aceleración nula.
CARACTERÍSTICAS
La distancia recorrida se calcula multiplicando la
magnitud de la velocidad media (velocidad o rapidez)
por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la
trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante
llamado movimiento de un cuerpo.
Al representar gráficamente la
velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la
distancia recorrida.
La representación gráfica de la distancia
recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad.
Por lo tanto el movimiento puede considerarse
en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección
contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo.
De acuerdo con la primera ley de newton, toda partícula permanece en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el
cuerpo. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden
a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento
rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada, a
tiempos iguales distancias iguales.
ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = 
.
.
De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: 
= 
= s(t2) - s(t1).
= = s(t2) - s(t1).
La posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t1) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2].
Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t2 que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) -s(t1) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) - s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.
En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:
distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2]
| =  |
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
a) 
= 
= 
= 0.
= = = 0.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.
b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.
La distancia recorrida es:
= 
=
= 
distancia recorrida = 
= 
.
= .
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.
metros.CONCLUSION
Este blog nos sirve para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la física primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.
Esto no quiere decir que sólo con la realización de este blog, sea entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que sólo se lograría esto mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso.
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